Log3(1-6x)=log3(17-x2)

Для решения уравнения ${\log }_3(1-6x)={\log }_3(17-x^2)$ воспользуемся методом приравнивания аргументов логарифмов при одинаковых основаниях. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля. Следовательно, необходимо выполнение системы неравенств:

1. $1-6x>0⟹6x<1⟹x<\frac{1}{6}$ $17-x^2>0⟹x^2<17⟹-\sqrt{17}<x<\sqrt{17}$

Общее условие для корней: $x<\frac{1}{6}$ . 2. Решение уравнения Так как основания логарифмов равны ( $3=3$), мы можем приравнять их аргументы: $1-6x=17-x^2$Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2-6x+1-17=0$ $x^2-6x-16=0$Найдем корни через дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-16)=36+64=100$ $\sqrt{D}=10$ Вычисляем значения $x$: $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{6+10}{2}=\frac{16}{2}=8$ $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{6-10}{2}=\frac{-4}{2}=-2$ 3. Проверка корней по ОДЗ Теперь сопоставим полученные корни с условием $x<\frac{1}{6}$ :

• $x_1=8$: Не подходит, так как $8>\frac{1}{6}$ . При подстановке в исходное уравнение аргумент первого логарифма станет отрицательным: $1-6\left(8\right)=-47$. $x_2=-2$: Подходит, так как $-2<\frac{1}{6}$ .

Ответ: $x=-2$ Я могу решить другие логарифмические уравнения или системы уравнений, если это потребуется.