Cos 3x - cos 5x= sin 4x

Для решения уравнения $\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$ воспользуемся тригонометрическими формулами преобразования разности в произведение. 1. Преобразование левой части Используем формулу разности косинусов: $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ Подставим $\alpha =3x$ и $\beta =5x$: $\cos 3x-\cos 5x=-2\sin \left(\frac{3x+5x}{2}\right)\sin \left(\frac{3x-5x}{2}\right)$ $\cos 3x-\cos 5x=-2\sin \left(4x\right)\sin (-x)$Так как синус — функция нечетная ( $\sin (-x)=-\sin x$), выражение упрощается до: $2\sin 4x\sin x$2. Составление и решение уравнения Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $2\sin 4x\sin x=\sin 4x$Перенесем все члены в левую часть, чтобы избежать потери корней при делении: $2\sin 4x\sin x-\sin 4x=0$Вынесем общий множитель $\sin 4x$ за скобки: $\sin 4x(2\sin x-1)=0$Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая: Случай А: $\sin 4x=0$ $4x=\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi k}{4}$ Случай Б: $2\sin x-1=0$ $\sin x=\frac{1}{2}$ Данное уравнение имеет две серии решений:

1. $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$

Или в общем виде: $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n$ 3. Итоговый ответ Объединяя все найденные корни, получаем:

1. $x=\frac{\pi k}{4}$ $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$
   (где $k,n\in \mathbb{Z}$)

Я могу отобрать корни этого уравнения на заданном числовом промежутке, если вы его укажете.