Вычислите определённый интеграл от 2 до пи (1/(корень из x) + sin x)dx.

Для вычисления определенного интеграла ${\int }_2^{\pi }(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sin x)dx$ воспользуемся свойством линейности интеграла и формулой Ньютона-Лейбница. 1. Разделение интеграла на части Разобьем исходное выражение на два отдельных интеграла: ${\int }_2^{\pi }(x^{-1/2}+\sin x)dx={\int }_2^{\pi }{x}^{-1/2}dx+{\int }_2^{\pi }\sin xdx$2. Нахождение первообразных Найдем неопределенные интегралы для каждой функции:

• Для $x^n$ первообразная равна $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ . В нашем случае $n=-1/2$:
  $\int x^{-1/2}dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2\sqrt{x}$ Для $\sin x$ первообразная известна:
  $\int \sin xdx=-\cos x$

3. Применение формулы Ньютона-Лейбница Подставим пределы интегрирования от $2$ до $\pi$: $F\left(x\right)={[2\sqrt{x}-\cos x]}_2^{\pi }$ Теперь вычислим разность значений в верхней и нижней точках: $(2\sqrt{\pi }-\cos \pi )-(2\sqrt{2}-\cos 2)$ 4. Упрощение выражения Используем известные значения тригонометрических функций:

• $\cos \pi =-1$ $\cos 2$ остается в виде функции (так как $2$ радиана не является табличным значением).

Подставляем: $(2\sqrt{\pi }-(-1\left)\right)-(2\sqrt{2}-\cos 2)$ $2\sqrt{\pi }+1-2\sqrt{2}+\cos 2$ Итоговый ответ: $2\sqrt{\pi }-2\sqrt{2}+\cos 2+1$ Приближенное значение (для справки): $2(1.772) - 2(1.414) - 0.416 + 1 \approx 3.544 - 2.828 - 0.416 + 1 \approx 1.3$$ Я могу помочь вам с вычислением других интегралов или разбором производных для этих же функций. Хотите проверить решение другого примера?