Log7(5-x)+log7(-1-x)=1

Для решения уравнения ${\log }_7(5-x)+{\log }_7(-1-x)=1$ необходимо выполнить последовательные шаги: определить область допустимых значений (ОДЗ), преобразовать логарифмы и решить полученное квадратное уравнение. 1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $5-x>0⟹x<5$ $-1-x>0⟹x<-1$

Пересечением этих условий является интервал: $x<-1$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов ${\log }_a\left(f\right)+{\log }_a\left(g\right)={\log }_a(f\cdot g)$: ${\log }_7\left(\right(5-x\left)\right(-1-x\left)\right)=1$По определению логарифма ( $a^c=b$): $(5-x)(-1-x)=7^1$3. Решение квадратного уравнения Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: $-5-5x+x+x^2=7$ $x^2-4x-5=7$ $x^2-4x-12=0$Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом:

• Сумма корней: $x_1+x_2=4$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=-12$

Корни уравнения: $x_1=6$ $x_2=-2$ 4. Проверка по ОДЗ Сравним полученные корни с условием $x<-1$:

• $x_1=6$: не подходит ( $6>-1$). Это посторонний корень. $x_2=-2$: подходит ( $-2<-1$).

Ответ: $-2$ Я могу помочь с решением других логарифмических уравнений или систем уравнений, если вы пришлете их условия.