Может ли произведение 101 идущих подряд натуральных чисел не делиться: на 51, на 101, на 606, на 4386?

Произведение 101 идущего подряд натурального числа не может не делиться ни на одно из указанных чисел; оно всегда будет кратно 51, 101, 606 и 4386. ️ Шаг 1: Основное свойство последовательных чисел Произведение $k$ последовательных натуральных чисел всегда делится на $k!$ (факториал числа $k$). Это следует из того, что среди $k$ последовательных чисел обязательно найдется хотя бы одно число, кратное $k$, хотя бы одно (на самом деле несколько), кратное $k-1$, и так далее для любого числа $m\le k$. Следовательно, произведение $P$ представимо в виде: $P=n\cdot (n+1)\cdot \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\cdot (n+100)=\frac{(n+100)!}{(n-1)!}=101!\cdot \left(\frac{n+100}{101}\right)$ Поскольку биномиальный коэффициент $\left(\frac{n+100}{101}\right)$ всегда является целым числом, произведение $P$ всегда делится на $101!$. Таким образом, любое число, являющееся делителем $101!$, обязательно будет делителем и нашего произведения. ️ Шаг 2: Проверка делимости на 51, 101 и 606 Для того чтобы число $D$ делило $101!$, необходимо, чтобы все простые множители числа $D$ входили в разложение $101!$ с соответствующими степенями.

1. Число 51: Разложение на множители: $51=3\cdot 17$. Оба числа 3 и 17 являются простыми и меньше 101. Значит, $101!$ делится на 51. Число 101: Само число 101 является простым. Так как оно присутствует в ряду множителей $101!$, то $101!$ делится на 101. Число 606: Разложение на множители: $606=2\cdot 3\cdot 101$. Все простые множители (2, 3, 101) не превосходят 101 и уникальны. Следовательно, $101!$ делится на 606.

️ Шаг 3: Проверка делимости на 4386 Разложим число 4386 на простые множители: $4386=2\cdot 2193=2\cdot 3\cdot 731=2\cdot 3\cdot 17\cdot 43$Все простые числа в разложении ( $2,3,17,43$) меньше либо равны 101. Так как это различные простые числа, каждое из них встречается в последовательности от 1 до 101 как минимум один раз. Следовательно, их произведение $2\cdot 3\cdot 17\cdot 43=4386$ является делителем $101!$. Поскольку $101!$ всегда делит произведение 101 последовательного числа, исходное произведение всегда делится на 4386. Ответ: Ни в одном из перечисленных случаев произведение не может не делиться на эти числа. Оно всегда кратно 51, 101, 606 и 4386. Хотите проверить аналогичное свойство для суммы последовательных чисел или разобрать задачи на остатки при делении?