Найдите абсциссы точек графика функции у=х(х-4)^3, в которых касательная параллельна оси ох.

Абсциссами точек графика функции $y=x(x-4{)}^3$, в которых касательная параллельна оси $Ox$, являются $x=1$ и $x=4$. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Касательная к графику функции параллельна оси $Ox$ (оси абсцисс), если её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной в любой точке совпадает со значением производной функции в этой точке. Следовательно, необходимо найти производную функции $y=x(x-4{)}^3$, используя правило дифференцирования произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ и сложной функции: $y^{\prime }=(x{)}^{\prime }\cdot (x-4{)}^3+x\cdot \left(\right(x-4{)}^3{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=1\cdot (x-4{)}^3+x\cdot 3(x-4{)}^2\cdot (x-4{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=(x-4{)}^3+3x(x-4{)}^2$️ Шаг 2: Решение уравнения $y^{\prime }=0$ Для поиска искомых абсцисс приравниваем полученную производную к нулю и решаем уравнение. Для упрощения вынесем общий множитель $(x-4{)}^2$ за скобки: $(x-4{)}^2\cdot ((x-4)+3x)=0$ $(x-4{)}^2\cdot (4x-4)=0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $(x-4{)}^2=0⟹x-4=0⟹\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{4}$ $4x-4=0⟹4x=4⟹\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1}$

Ответ: Искомые абсциссы точек: $x=1$ и $x=4$. Нужно ли вам также вычислить ординаты этих точек для определения полных координат?