Найдите область определения функции y= корень х-1/х+1

Для нахождения области определения функции $y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ необходимо учитывать два математических ограничения:

1. Подкоренное выражение для корня четной степени должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

1. Составление системы неравенств Исходя из указанных условий, получаем следующую систему: $\{\begin{array}{c}\frac{x-1}{x+1}\ge 0\\ x+1\ne 0\end{array}$ Из второго условия сразу следует, что $x\ne -1$. 2. Решение неравенства методом интервалов Рассмотрим функцию $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+1}$ . Найдем критические точки, в которых выражение меняет знак:

• Числитель равен нулю: $x-1=0\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (точка закрашенная, так как неравенство нестрогое). Знаменатель равен нулю: $x+1=0\mathbf{x}\mathbf{=}-1$ (точка выколотая, так как делить на ноль нельзя).

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на полученных интервалах:

1. $(-\infty ;-1)$: возьмем $x=-2$. Подставляем: $\frac{-2-1}{-2+1}=\frac{-3}{-1}=3>0$ . (Знак +) $(-1;1]$: возьмем $x=0$. Подставляем: $\frac{0-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1<0$ . (Знак –) $[1;+\infty )$: возьмем $x=2$. Подставляем: $\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}>0$ . (Знак +)

3. Итоговый результат Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак +). Область определения: $D\left(y\right)=(-\infty ;-1)\cup [1;+\infty )$Или в виде неравенства: $x<-1$ или $x\ge 1$. Я могу также построить график этой функции или найти её производную. Хотите продолжить исследование этой функции?