Найдите сумму корней уравнения lg(x+11) - 1/2lg(2x+7)= 2 - lg25

Для решения уравнения $\lg (x+11)-\frac{1}{2}\lg (2x+7)=2-\lg 25$ воспользуемся свойствами логарифмов и перейдем к алгебраическому уравнению. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $x+11>0⟹x>-11$ $2x+7>0⟹x>-3.5$

Итоговое ограничение: $x>-3.5$ 2. Преобразование уравнения Сначала упростим правую часть, используя значение $\lg 100=2$: $2-\lg 25=\lg 100-\lg 25=\lg \left(\frac{100}{25}\right)=\lg 4$ Теперь преобразуем левую часть, используя свойство $n\lg a=\lg \left(a^n\right)$: $\lg (x+11)-\lg \sqrt{2x+7}=\lg 4$ Применим свойство разности логарифмов $\lg a-\lg b=\lg \left(\frac{a}{b}\right)$ : $\lg \left(\frac{x+11}{\sqrt{2x+7}}\right)=\lg 4$ 3. Решение алгебраического уравнения Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $\frac{x+11}{\sqrt{2x+7}}=4$ Умножим обе части на $\sqrt{2x+7}$ (с учетом ОДЗ он не равен 0): $x+11=4\sqrt{2x+7}$ Возведем обе части в квадрат: $(x+11{)}^2=(4\sqrt{2x+7}{)}^2$ $x^2+22x+121=16(2x+7)$ $x^2+22x+121=32x+112$Перенесем все члены в левую часть: $x^2-10x+9=0$По теореме Виета для уравнения $x^2+px+q=0$:

• Сумма корней $x_1+x_2=-p=10$ Произведение корней $x_1\cdot x_2=q=9$

Находим корни: $x_1=1$ $x_2=9$ 4. Проверка корней и поиск суммы Оба корня ( $1$ и $9$) удовлетворяют условию ОДЗ ( $x>-3.5$). Также, при подстановке в уравнение $x+11=4\sqrt{2x+7}$ , обе части остаются положительными, что подтверждает отсутствие "посторонних" корней. Находим сумму корней: $1+9=10$Ответ: 10 Хотите, чтобы я разобрал решение аналогичного логарифмического уравнения с другим основанием?