Найдите область значений функции у=log по основанию 2 выражения 20+4х+х^2

Областью значений функции $y={\log }_2(x^2+4x+20)$ является промежуток $[4;+\infty )$. ️ Шаг 1: Исследование внутренней функции Рассмотрим квадратичную функцию $g\left(x\right)=x^2+4x+20$, которая находится под знаком логарифма. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ( $a=1>0$). ️ Шаг 2: Поиск минимального значения аргумента логарифма Для нахождения области значений логарифмической функции необходимо определить диапазон значений её аргумента. Найдём координаты вершины параболы:

• Абсцисса вершины: $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2$ Минимальное значение $g\left(x\right)$: $g\left(-2\right)=(-2{)}^2+4(-2)+20=4-8+20=16$
  Поскольку ветви параболы направлены вверх, область значений внутренней функции $g\left(x\right)$ — это промежуток $[16;+\infty )$.

️ Шаг 3: Нахождение области значений функции y Функция $y={\log }_2\left(u\right)$ является монотонно возрастающей на всей области определения, так как основание логарифма $2>1$. Это означает, что наименьшему значению аргумента $u=16$ соответствует наименьшее значение функции $y$: $y_{min}={\log }_2\left(16\right)=4$Так как аргумент $g\left(x\right)$ может принимать любые значения от $16$ до $+\infty$, а логарифмическая функция с основанием больше $1$ стремится к бесконечности при росте аргумента, область значений всей функции: $E\left(y\right)=[4;+\infty )$ Ответ: [4; +\infty) Сообщите, если вам требуется найти область определения данной функции или исследовать её на экстремумы.