Иррациональное уравнение √2х-1=х-2

Для решения иррационального уравнения $\sqrt{2x-1}=x-2$ необходимо выполнить возведение обеих частей в квадрат, учитывая область допустимых значений и условия равносильности. 1. Определение условий (ОДЗ) Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Кроме того, поскольку корень равен выражению $(x-2)$, это выражение также должно быть неотрицательным:

1. $2x-1\ge 0⟹x\ge 0.5$ $x-2\ge 0⟹x\ge 2$

Следовательно, итоговое условие для поиска корней: $x\ge 2$. 2. Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня: $(\sqrt{2x-1}{)}^2=(x-2{)}^2$ $2x-1=x^2-4x+4$3. Решение квадратного уравнения Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2-4x-2x+4+1=0$ $x^2-6x+5=0$Для решения воспользуемся дискриминантом: $D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$ $\sqrt{D}=4$ Находим корни: $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{6+4}{2}=5$ $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{6-4}{2}=1$ 4. Проверка условий и отбор корней Сравним полученные значения с условием $x\ge 2$:

• $x_1=5$: $5\ge 2$ (Подходит) $x_2=1$: $1<2$ (Не подходит, является посторонним корнем)

Проверка подстановкой $x=5$ в исходное уравнение: $\sqrt{2\cdot 5-1}=5-2$ $\sqrt{9}=3$ $3=3$ (Верно) Ответ: 5 Я могу составить для вас аналогичные примеры для закрепления материала или разобрать решение через систему неравенств. Хотите, чтобы я подготовил несколько тренировочных задач?