Найдите производную: y=x^2-1\x^2+1

Для нахождения производной функции $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ 1. Определение компонентов Пусть:

• Числитель: $u=x^2-1$ Знаменатель: $v=x^2+1$

2. Нахождение производных числителя и знаменателя

• $u^{\prime }=(x^2-1{)}^{\prime }=2x$ $v^{\prime }=(x^2+1{)}^{\prime }=2x$

3. Применение формулы Подставим полученные значения в формулу производной частного: $y^{\prime }=\frac{\left(2x\right)(x^2+1)-(x^2-1)\left(2x\right)}{(x^2+1{)}^2}$ 4. Упрощение выражения Раскроем скобки в числителе:

• $\left(2x\right)(x^2+1)=2x^3+2x$ $(x^2-1)\left(2x\right)=2x^3-2x$

Теперь вычтем одно выражение из другого: $y^{\prime }=\frac{2x^3+2x-(2x^3-2x)}{(x^2+1{)}^2}$ $y^{\prime }=\frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1{)}^2}$ Сгруппируем подобные слагаемые ( $2x^3$ и $-2x^3$ взаимно уничтожаются): $y^{\prime }=\frac{4x}{(x^2+1{)}^2}$ Ответ: $y^{\prime }=\frac{4x}{(x^2+1{)}^2}$ Я могу также помочь вам найти точки экстремума этой функции или составить уравнение касательной в заданной точке. Желаете продолжить исследование функции?