Прямоугольный участок земли который прилегает к стене дома нужно огородить забором длиной 160 метров . найти длину прямоугольника в метрах при которой площадь участка будет наибольшей

Для того чтобы площадь прямоугольного участка, прилегающего к стене дома, была наибольшей при заданной длине забора $160$ метров, длина участка (сторона, параллельная стене) должна составлять 80 метров. ️ Шаг 1: Составление функции площади Пусть $x$ — ширина участка (две стороны, перпендикулярные стене), а $y$ — его длина (сторона, параллельная стене). Поскольку одна сторона прилегает к дому, забор ставится только на три стороны. Периметр забора выражается уравнением: $2x+y=160$Отсюда выразим длину через ширину: $y=160-2x$Площадь участка $S$ вычисляется как произведение сторон: $S\left(x\right)=x\cdot y=x(160-2x)=160x-2x^2$️ Шаг 2: Поиск экстремума функции Чтобы найти значение $x$, при котором площадь $S\left(x\right)$ максимальна, необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю: $S^{\prime }\left(x\right)=160-4x$Приравняем к нулю: $160-4x=0$ $4x=160$ $x=40$Так как графиком функции $S\left(x\right)=-2x^2+160x$ является парабола, ветви которой направлены вниз, точка $x=40$ является точкой максимума. ️ Шаг 3: Вычисление оптимальной длины Теперь найдем длину $y$, подставив значение $x=40$ в уравнение из первого шага: $y=160-2\cdot 40=160-80=80$ Ответ: Длина прямоугольника должна быть равна 80 метрам (при этом ширина составит $40$ метров, а площадь достигнет максимума в $3200$ ${м}^2$).