Найдите точки максимума и минимума функции у=х^3+6х^2-15х-3

Точкой максимума функции является $x=-5$, а точкой минимума функции является $x=1$. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на экстремумы необходимо найти её производную. Используем правила дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(x^3+6x^2-15x-3{)}^{\prime }=3x^2+12x-15$️ Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых наклон касательной равен нулю: $3x^2+12x-15=0$Разделим всё уравнение на 3 для упрощения: $x^2+4x-5=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: $D=4^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36$ $x_1=\frac{-4+6}{2}=1$ $x_2=\frac{-4-6}{2}=-5$ ️ Шаг 3: Определение характера критических точек Определим знаки производной на интервалах, ограниченных найденными точками: $(-\infty ,-5)$, $(-5,1)$ и $(1,+\infty )$.

1. На интервале $(-\infty ,-5)$ возьмем $x=-6$: $y^{\prime }\left(-6\right)=3(-6{)}^2+12(-6)-15=108-72-15=21>0$ (функция возрастает). На интервале $(-5,1)$ возьмем $x=0$: $y^{\prime }\left(0\right)=-15<0$ (функция убывает). На интервале $(1,+\infty )$ возьмем $x=2$: $y^{\prime }\left(2\right)=3(2{)}^2+12(2)-15=12+24-15=21>0$ (функция возрастает).

Точка $x=-5$ является точкой максимума, так как производная меняет знак с $+$ на $-$. Точка $x=1$ является точкой минимума, так как производная меняет знак с $-$ на $+$. Ответ: Точка максимума: $\mathbf{x}\mathbf{=}-5$. Точка минимума: $\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1}$. Нужно ли вам также вычислить значения функции в этих точках (экстремумы функции)?