Найдите точку минимума функции y=x^3+3x^2

Точка минимума функции $y=x^3+3x^2$ равна 0. Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на экстремумы необходимо найти её производную. Используя правила дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, получаем: $y^{\prime }=(x^3+3x^2{)}^{\prime }=3x^2+6x$Шаг 2: Нахождение критических точек Чтобы найти точки, в которых функция может иметь экстремум, приравняем производную к нулю: $3x^2+6x=0$ Вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x(x+2)=0$ Отсюда получаем две критические точки:

1. $3x=0x_1=0$ $x+2=0x_2=-2$

Шаг 3: Определение интервалов монотонности и точек экстремума Отметим найденные точки на числовой оси и определим знаки производной $y^{\prime }=3x(x+2)$ на каждом интервале:

1. На интервале $(-\infty ,-2)$: возьмем $x=-3$, тогда $y^{\prime }\left(-3\right)=3\left(-3\right)(-3+2)=\left(-9\right)\left(-1\right)=9>0$. Функция возрастает. На интервале $(-2,0)$: возьмем $x=-1$, тогда $y^{\prime }\left(-1\right)=3\left(-1\right)(-1+2)=\left(-3\right)\left(1\right)=-3<0$. Функция убывает. На интервале $(0,+\infty )$: возьмем $x=1$, тогда $y^{\prime }\left(1\right)=3\left(1\right)(1+2)=3\cdot 3=9>0$. Функция возрастает.

Точка минимума — это точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс (функция переходит от убывания к возрастанию). Это происходит в точке $x=0$. Ответ: Точка минимума функции $x=\mathbf{0}$. Укажите, требуется ли вам также найти минимум функции (значение $y$ в этой точке) или провести полное исследование функции для построения графика. Good response Bad response