Найдите все первообразные функции: f(x)=4x-x^2

Для нахождения всех первообразных функции $f\left(x\right)=4x-x^2$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от данной функции. Математическое обоснование Общий вид первообразной для функции $f\left(x\right)$ записывается как: $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx$Для вычисления используются основные правила интегрирования:

1. Интеграл суммы: $\int \left(u\right(x)+v(x\left)\right)dx=\int u\left(x\right)dx+\int v\left(x\right)dx$ Вынос константы: $\int k\cdot u\left(x\right)dx=k\cdot \int u\left(x\right)dx$ Табличный интеграл степенной функции: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ , где $n\ne -1$

Пошаговое решение 1. Запишем неопределенный интеграл: $\int (4x-x^2)dx$2. Применим правило суммы и вынесем коэффициенты: $\int 4xdx-\int x^{2}dx=4\int x^{1}dx-\int x^{2}dx$3. Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

• Для $4x^1$: увеличиваем степень на 1 и делим на полученное число:
  $4\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}=4\cdot \frac{x^2}{2}=2x^2$ Для $x^2$: увеличиваем степень на 1 и делим на полученное число:
  $\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{3}$

4. Записываем общий вид первообразной, добавляя произвольную постоянную $C$: $F\left(x\right)=2x^2-\frac{x^3}{3}+C$ Ответ Все первообразные функции $f\left(x\right)=4x-x^2$ имеют вид: $F\left(x\right)=2x^2-\frac{1}{3}{x}^3+C$ , где $C$ — произвольная постоянная ( $C\in \mathbb{R}$). Хотите, чтобы я проверил это решение путем дифференцирования полученного результата или нашел частную первообразную, проходящую через заданную точку?