Cosa+sina/cosa-sina=tg(п/4+a)тождество

Чтобы доказать тождество $\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}=\tan (\frac{\pi }{4}+a)$ , воспользуемся методом преобразования левой и правой частей уравнения. Способ 1: Преобразование левой части Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части на $\cos a$ (при условии, что $\cos a\ne 0$): $\frac{\frac{\cos a}{\cos a}+\frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a}{\cos a}-\frac{\sin a}{\cos a}}=\frac{1+\tan a}{1-\tan a}$ Вспомним, что $\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$ . Подставим это значение в выражение: $\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan a}{1-\tan \frac{\pi }{4}\cdot \tan a}$ Данная конструкция в точности соответствует тригонометрической формуле тангенса суммы: $\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$ Следовательно: $\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan a}{1-\tan \frac{\pi }{4}\cdot \tan a}=\tan (\frac{\pi }{4}+a)$ Способ 2: Преобразование правой части Раскроем правую часть по формуле тангенса суммы: $\tan (\frac{\pi }{4}+a)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan a}{1-\tan \frac{\pi }{4}\cdot \tan a}$ Так как $\tan \frac{\pi }{4}=1$ , получаем: $\frac{1+\tan a}{1-\tan a}$ Заменим $\tan a$ на отношение $\frac{\sin a}{\cos a}$ : $\frac{1+\frac{\sin a}{\cos a}}{1-\frac{\sin a}{\cos a}}$ Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $\cos a$: $\frac{\frac{\cos a+\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a-\sin a}{\cos a}}$ После сокращения знаменателя $\cos a$ получаем левую часть исходного уравнения: $\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}$ Вывод: Левая часть равна правой части. Тождество доказано. Я могу также помочь с выводом других тригонометрических формул или решить конкретную задачу на их применение.