Найти частные производные 1-го и 2-го порядка . записать полный дифференциал z=sin (x+y)

Для функции $z=\sin (x+y)$ нахождение производных основывается на правилах дифференцирования сложной функции. Поскольку аргумент $(x+y)$ линейно зависит от обеих переменных, дифференцирование по $x$ и по $y$ будет симметричным. 1. Частные производные первого порядка Для нахождения $z_x^{\prime }$ мы считаем $y$ константой, а для $z_y^{\prime }$ — константой считается $x$.

• По $x$:
  $z_x^{\prime }=\frac{z}{x}=\cos (x+y)\cdot (x+y{)}_x^{\prime }=\cos (x+y)$ По $y$:
  $z_y^{\prime }=\frac{z}{y}=\cos (x+y)\cdot (x+y{)}_y^{\prime }=\cos (x+y)$

2. Частные производные второго порядка Берем производные от уже полученных выражений первого порядка.

• Чистая производная по $x$:
  $z_{xx}^{\prime \prime }=\frac{{}^{2}z}{x^2}=\frac{}{x}\left(\cos \right(x+y\left)\right)=-\sin (x+y)$ Чистая производная по $y$:
  $z_{yy}^{\prime \prime }=\frac{{}^{2}z}{y^2}=\frac{}{y}\left(\cos \right(x+y\left)\right)=-\sin (x+y)$ Смешанная производная:
  $z_{xy}^{\prime \prime }=\frac{{}^{2}z}{xy}=\frac{}{y}\left(\cos \right(x+y\left)\right)=-\sin (x+y)$ (Заметим, что $z_{xy}^{\prime \prime }=z_{yx}^{\prime \prime }$ согласно теореме Шварца).

3. Полный дифференциал функции Полный дифференциал первого порядка вычисляется по формуле: $dz=\frac{z}{x}dx+\frac{z}{y}dy$ Подставляя найденные производные первого порядка, получаем: $dz=\cos (x+y)dx+\cos (x+y)dy=\cos (x+y)(dx+dy)$ Резюме результатов

Хотите, чтобы я также составил выражение для полного дифференциала второго порядка $d^{2}z$?