3sin2x+sinx*cosx=2cos2x

Для решения уравнения $3{\sin }^{2}x+\sin x\cos x=2{\cos }^{2}x$ воспользуемся методом решения однородных тригонометрических уравнений второй степени. 1. Перенос всех членов в одну сторону Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $3{\sin }^{2}x+\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x=0$2. Деление на ${\cos }^{2}x$ Проверим, может ли $\cos x$ быть равен $0$. Если $\cos x=0$, то уравнение принимает вид $3{\sin }^{2}x=0$, то есть $\sin x=0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю согласно основному тригонометрическому тождеству ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$). Следовательно, $\cos x\ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$: $\frac{3{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}-\frac{2{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ Используя определение тангенса $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ , получаем квадратное уравнение относительно $\tan x$: $3{\tan }^{2}x+\tan x-2=0$3. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\tan x$. Тогда уравнение примет вид: $3t^2+t-2=0$Найдем дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 3\cdot \left(-2\right)=1+24=25$ $\sqrt{D}=5$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{-1+5}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ $t_2=\frac{-1-5}{2\cdot 3}=\frac{-6}{6}=-1$ 4. Обратная подстановка Теперь решим два простейших уравнения для $x$:

1. Для $t_1=\frac{2}{3}$ :
   $\tan x=\frac{2}{3}$ $x=\arctan \left(\frac{2}{3}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Для $t_2=-1$:
   $\tan x=-1$ $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\arctan \left(\frac{2}{3}\right)+\pi n$ ; $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,n,k\in \mathbb{Z}$ . Могу выполнить отбор корней на заданном промежутке, если это необходимо.