Найти наибольшее и наименьшее значение функции: 3sin^2(x) + 2cos(x)

Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции: 3sin^2(x) + 2cos(x)

CurrentAsh 19.02.2026 19:04

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для нахождения экстремумов функции $f (x) = 3 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) f of x equals 3 sine squared x plus 2 cosine x$ необходимо привести её к одной переменной и исследовать полученное выражение на ограниченном интервале. 1. Преобразование функции Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^{2} (x) = 1 - \cos^{2} (x) sine squared x equals 1 minus cosine squared x$ , чтобы выразить функцию через косинус: $f (x) = 3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) f of x equals 3 open paren 1 minus cosine squared x close paren plus 2 cosine x$ $f (x) = 3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) f of x equals 3 minus 3 cosine squared x plus 2 cosine x$ $f (x) = -3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 f of x equals negative 3 cosine squared x plus 2 cosine x plus 3$ 2. Замена переменной Пусть $t = \cos (x) t equals cosine x$ . Так как область значений косинуса ограничена, переменная $t t$ принимает значения на отрезке $[-1, 1] open bracket negative 1 comma 1 close bracket$ . Теперь задача сводится к поиску наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции: $g (t) = -3 t^{2} + 2 t + 3, t \in [-1, 1] g of t equals negative 3 t squared plus 2 t plus 3 comma space t is an element of open bracket negative 1 comma 1 close bracket$ 3. Исследование функции на отрезке Графиком функции $g (t) g of t$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Экстремумы могут находиться либо в вершине параболы, либо на концах отрезка. Нахождение вершины: Координата вершины $t_{v} t sub v$ вычисляется по формуле $t = - \frac{b}{2 a} t equals negative b over 2 a end-fraction$ : $t_{v} = - \frac{2}{2 \cdot (-3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} t sub v equals negative the fraction with numerator 2 and denominator 2 center dot open paren negative 3 close paren end-fraction equals two-sixths equals one-third$ Число $1 / 3 1 / 3$ входит в интервал $[-1, 1] open bracket negative 1 comma 1 close bracket$ . Вычисление значений в критических точках:

В вершине ( $t = 1 / 3 t equals 1 / 3$ ):
$g (1 / 3) = -3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) + 3 g of open paren 1 / 3 close paren equals negative 3 open paren one-third close paren squared plus 2 open paren one-third close paren plus 3$ $g (1 / 3) = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} + 3 = - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 3 = \frac{1}{3} + 3 = 3 \frac{1}{3} \approx 3.33 g of open paren 1 / 3 close paren equals negative 3 center dot one-nineth plus two-thirds plus 3 equals negative one-third plus two-thirds plus 3 equals one-third plus 3 equals 3 and one-third is approximately equal to 3.33$ На левой границе ( $t = -1 t equals negative 1$ ):
$g (-1) = -3 (-1)^{2} + 2 (-1) + 3 = -3 - 2 + 3 = -2 g of negative 1 equals negative 3 open paren negative 1 close paren squared plus 2 open paren negative 1 close paren plus 3 equals negative 3 minus 2 plus 3 equals negative 2$ На правой границе ( $t = 1 t equals 1$ ):
$g (1) = -3 (1)^{2} + 2 (1) + 3 = -3 + 2 + 3 = 2 g of 1 equals negative 3 open paren 1 close paren squared plus 2 open paren 1 close paren plus 3 equals negative 3 plus 2 plus 3 equals 2$

4. Итоговое сравнение Сравним полученные значения:

$g (1 / 3) = 3 \frac{1}{3} g of open paren 1 / 3 close paren equals 3 and one-third$ $g (-1) = -2 g of negative 1 equals negative 2$ $g (1) = 2 g of 1 equals 2$

Наибольшее значение: $3 \frac{1}{3} 3 and one-third$ (достигается, когда $\cos (x) = 1 / 3 cosine x equals 1 / 3$ ). Наименьшее значение: $-2 negative 2$ (достигается, когда $\cos (x) = -1 cosine x equals negative 1$ ). Хотите, чтобы я привел примеры конкретных значений $x x$ , при которых достигаются эти экстремумы?

Найти наибольшее и наименьшее значение функции: 3sin^2(x) + 2cos(x)

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов