Найти нули и промежутки знакопостоянства функции y = (x²-6x)/(x+6)

Нулями функции являются значения $x=0$ и $x=6$. Функция принимает положительные значения на промежутках $(-6;0)\cup (6;+\infty )$ и отрицательные значения на промежутках $(-\infty ;-6)\cup (0;6)$. ️ Шаг 1: Нахождение области определения и нулей функции Для функции $y=\frac{x^2-6x}{x+6}$ область определения ограничена условием знаменателя: $x+6\ne 0$, следовательно, $x\ne -6$. Нули функции — это значения $x$, при которых числитель равен нулю: $x^2-6x=0$ $x(x-6)=0$Отсюда получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=6$. ️ Шаг 2: Определение промежутков знакопостоянства Используем метод интервалов, отметив на числовой прямой нули функции ( $0$ и $6$) и точку разрыва ( $-6$). Эти точки делят прямую на четыре интервала:

1. $(-\infty ;-6)$: Возьмем $x=-7$. $y=\frac{(-7{)}^2-6(-7)}{-7+6}=\frac{49+42}{-1}=-91<0$ . Функция отрицательна. $(-6;0)$: Возьмем $x=-1$. $y=\frac{(-1{)}^2-6(-1)}{-1+6}=\frac{1+6}{5}=1.4>0$ . Функция положительна. $(0;6)$: Возьмем $x=1$. $y=\frac{1^2-6\left(1\right)}{1+6}=\frac{-5}{7}<0$ . Функция отрицательна. $(6;+\infty )$: Возьмем $x=10$. $y=\frac{{10}^2-6\left(10\right)}{10+6}=\frac{40}{16}=2.5>0$ . Функция положительна.

Ответ: Нули функции: $x=0,x=6$. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x\in (-6;0)\cup (6;+\infty )$; $y<0$ при $x\in (-\infty ;-6)\cup (0;6)$. Нужно ли вам построить график этой функции или найти её экстремумы?