Найти промежутки монотонности и экстремумы функции y=x^3+6x^2+9x+2 y=x^3-3x^2-9x+10 y=2x^3-9x^2+12x-5

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции необходимо исследовать знак её производной. 1. Функция $y=x^3+6x^2+9x+2$ Находим производную: $y^{\prime }=3x^2+12x+9$ Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек: $3x^2+12x+9=0$ $x^2+4x+3=0$ По теореме Виета корни: $x_1=-3$, $x_2=-1$. Анализ знаков производной:

• На интервале $(-\infty ,-3)$: $y^{\prime }>0$ (функция возрастает) На интервале $(-3,-1)$: $y^{\prime }<0$ (функция убывает) На интервале $(-1,+\infty )$: $y^{\prime }>0$ (функция возрастает)

Экстремумы:

• Точка максимума: $x_{max}=-3$. Значение: $y\left(-3\right)=(-3{)}^3+6(-3{)}^2+9\left(-3\right)+2=-27+54-27+2=\mathbf{2}$. Точка минимума: $x_{min}=-1$. Значение: $y\left(-1\right)=(-1{)}^3+6(-1{)}^2+9\left(-1\right)+2=-1+6-9+2=-2$.

2. Функция $y=x^3-3x^2-9x+10$ Находим производную: $y^{\prime }=3x^2-6x-9$ Приравниваем производную к нулю: $3x^2-6x-9=0$ $x^2-2x-3=0$ Корни: $x_1=-1$, $x_2=3$. Анализ знаков производной:

• На интервале $(-\infty ,-1)$: $y^{\prime }>0$ (функция возрастает) На интервале $(-1,3)$: $y^{\prime }<0$ (функция убывает) На интервале $(3,+\infty )$: $y^{\prime }>0$ (функция возрастает)

Экстремумы:

• Точка максимума: $x_{max}=-1$. Значение: $y\left(-1\right)=-1-3+9+10=15$. Точка минимума: $x_{min}=3$. Значение: $y\left(3\right)=27-27-27+10=-17$.

3. Функция $y=2x^3-9x^2+12x-5$ Находим производную: $y^{\prime }=6x^2-18x+12$ Приравниваем производную к нулю: $6x^2-18x+12=0$ $x^2-3x+2=0$ Корни: $x_1=1$, $x_2=2$. Анализ знаков производной:

• На интервале $(-\infty ,1)$: $y^{\prime }>0$ (функция возрастает) На интервале $(1,2)$: $y^{\prime }<0$ (функция убывает) На интервале $(2,+\infty )$: $y^{\prime }>0$ (функция возрастает)

Экстремумы:

• Точка максимума: $x_{max}=1$. Значение: $y\left(1\right)=2-9+12-5=\mathbf{0}$. Точка минимума: $x_{min}=2$. Значение: $y\left(2\right)=2\left(8\right)-9\left(4\right)+12\left(2\right)-5=16-36+24-5=-1$.

Если вам нужно исследовать эти функции на выпуклость или найти точки перегиба, я могу выполнить этот расчет.