Найти первообразную: а) f(x) = 2 sin x б) f(x) = 5 cos x в) f(x) = 5 sin x + 2 cos x

Для данных функций первообразные имеют вид: а) $\mathbf{F}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}-2\cos \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{C}$, б) $\mathbf{F}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{5}\sin \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{C}$, в) $\mathbf{F}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}-5\cos \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\sin \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{C}$. ️ Шаг 1: Применение табличных интегралов и свойств линейности Для нахождения первообразных используются основные табличные значения интегралов от тригонометрических функций и свойство линейности, согласно которому первообразная суммы функций равна сумме их первообразных, а постоянный множитель можно выносить за знак интегрирования. Основные формулы:

1. Для $\sin x$ первообразной является $-\cos x+C$. Для $\cos x$ первообразной является $\sin x+C$.

Применим эти правила к каждому пункту: а) Для функции $f\left(x\right)=2\sin x$: $F\left(x\right)=2\cdot (-\cos x)+C=-2\cos x+C$б) Для функции $f\left(x\right)=5\cos x$: $F\left(x\right)=5\cdot \left(\sin x\right)+C=5\sin x+C$в) Для функции $f\left(x\right)=5\sin x+2\cos x$: $F\left(x\right)=5\cdot (-\cos x)+2\cdot \left(\sin x\right)+C=-5\cos x+2\sin x+C$ Ответ: а) $\mathbf{F}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}-2\cos \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{C}$ б) $\mathbf{F}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{5}\sin \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{C}$ в) $\mathbf{F}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}-5\cos \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\sin \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{C}$ Требуется ли вам помощь с вычислением определенного интеграла для одной из этих функций на заданном промежутке?