(sin 7pi/8 - cos 7pi/8)^2

Для решения выражения $(\sin \frac{7\pi }{8}-\cos \frac{7\pi }{8}{)}^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения и тригонометрическими тождествами. Пошаговое решение:

1. Раскрытие квадрата разности
   Применим формулу $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$:
   $(\sin \frac{7\pi }{8}-\cos \frac{7\pi }{8}{)}^2={\sin }^2\frac{7\pi }{8}-2\sin \frac{7\pi }{8}\cos \frac{7\pi }{8}+{\cos }^2\frac{7\pi }{8}$ Использование основного тригонометрического тождества
   Вспомним, что ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$. Группируем соответствующие члены:
   $({\sin }^2\frac{7\pi }{8}+{\cos }^2\frac{7\pi }{8})-2\sin \frac{7\pi }{8}\cos \frac{7\pi }{8}=1-2\sin \frac{7\pi }{8}\cos \frac{7\pi }{8}$ Применение формулы двойного угла
   Используем формулу синуса двойного угла: $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin \left(2\alpha \right)$.
   В нашем случае $\alpha =\frac{7\pi }{8}$ , следовательно:
   $2\sin \frac{7\pi }{8}\cos \frac{7\pi }{8}=\sin (2\cdot \frac{7\pi }{8})=\sin \frac{7\pi }{4}$ Вычисление значения синуса
   Угол $\frac{7\pi }{4}$ находится в четвертой четверти. Его можно представить как:
   $\sin \frac{7\pi }{4}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{4})=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ Финальный расчет
   Подставим полученное значение в выражение из шага 2:
   $1-(-\frac{\sqrt{2}}{2})=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ (или $\frac{2+\sqrt{2}}{2}\approx 1.707$ ) Хотите ли вы разобрать решение других тригонометрических задач с использованием подобных формул?