Найти производную y=sin(cosx)

Для нахождения производной функции $y=\sin \left(\cos x\right)$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции. Формулы Для решения нам понадобятся следующие правила:

1. Производная сложной функции: Если $y=f\left(g\right(x\left)\right)$, то $y^{\prime }=f^{\prime }\left(g\right(x\left)\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)$. Производная синуса: $(\sin u{)}^{\prime }=\cos u\cdot u^{\prime }$. Производная косинуса: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.

Пошаговое решение

1. Определим внешнюю и внутреннюю функции:
   • Внешняя функция: $f\left(u\right)=\sin u$, где $u=\cos x$. Внутренняя функция: $g\left(x\right)=\cos x$.
2. Применим правило дифференцирования:
   Сначала берем производную от внешней функции (синуса), оставляя аргумент прежним, а затем умножаем на производную внутренней функции (косинуса):
   $y^{\prime }=\cos \left(\cos x\right)\cdot (\cos x{)}^{\prime }$ Вычислим производную внутренней функции:
   Так как $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, подставим это значение в выражение:
   $y^{\prime }=\cos \left(\cos x\right)\cdot (-\sin x)$ Запишем окончательный результат:
   Для удобства вынесем знак минуса и множитель $\sin x$ вперед:
   $y^{\prime }=-\sin x\cdot \cos \left(\cos x\right)$

Ответ: $y^{\prime }=-\sin x\cos \left(\cos x\right)$Я могу также помочь вам найти вторую производную этой функции или разобрать другой пример. Хотите продолжить?