Найти производную y=√1−x2

Для нахождения производной функции $y=\sqrt{1-x^2}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. 1. Определение структуры функции Данную функцию можно представить как композицию двух функций:

• Внешняя функция: $u^{1/2}$ (корень) Внутренняя функция: $u=1-x^2$

2. Применение формул Для решения нам понадобятся следующие правила дифференцирования:

1. Производная степени: $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$ Производная сложной функции: $\left[f\right(g\left(x\right)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g\left(x\right))\cdot g^{\prime }(x)$ Производная константы и разности: $(c{)}^{\prime }=0$ и $(u-v{)}^{\prime }=u^{\prime }-v^{\prime }$

3. Пошаговое решение Шаг 1: Дифференцируем внешнюю функцию (корень). Напомним, что $\sqrt{u}=u^{1/2}$ . Его производная равна: $\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$ Шаг 2: Дифференцируем внутреннюю функцию ( $1-x^2$). $(1-x^2{)}^{\prime }=0-2x=-2x$Шаг 3: Перемножаем полученные результаты. $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot \left(-2x\right)$ Шаг 4: Упрощаем выражение. Сокращаем двойки в числителе и знаменателе: $y^{\prime }=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ Итоговый ответ: $y^{\prime }=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ Могу также рассчитать значение этой производной в конкретной точке или найти вторую производную этой функции.