Найти точки экстремума функции y= (x/3) + (3/x)

Точками экстремума функции являются $x=-3$ (точка локального максимума) и $x=3$ (точка локального минимума). Шаг 1: Нахождение области определения и производной функции Функция $y=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$ определена для всех $x\ne 0$. Найдем производную функции по правилу дифференцирования суммы: $y^{\prime }={\left(\frac{x}{3}\right)}^{\prime }+{\left(\frac{3}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{3}-\frac{3}{x^2}$ Шаг 2: Определение критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Так как $x=0$ не входит в область определения, решим уравнение $y^{\prime }=0$: $\frac{1}{3}-\frac{3}{x^2}=0\frac{1}{3}=\frac{3}{x^2}{x}^2=9x_1=3,x_2=-3$ Шаг 3: Исследование точек на экстремум Используем вторую производную для определения характера экстремумов: $y^{\prime \prime }={(\frac{1}{3}-\frac{3}{x^2})}^{\prime }=\frac{6}{x^3}$ Проверим знаки второй производной в критических точках:

1. При $x=3$: $y^{\prime \prime }\left(3\right)=\frac{6}{27}>0$ . Следовательно, $x=3$ — точка минимума. При $x=-3$: $y^{\prime \prime }\left(-3\right)=\frac{6}{-27}<0$ . Следовательно, $x=-3$ — точка максимума.

Вычислим значения функции: $y\left(3\right)=\frac{3}{3}+\frac{3}{3}=2$ $y\left(-3\right)=\frac{-3}{3}+\frac{3}{-3}=-2$ Ответ: Точка максимума $x=-3$ (значение функции $-2$), точка минимума $x=3$ (значение функции $2$). Хотите ли вы разобрать построение графика данной функции с учетом найденных точек и асимптот?