Найти точки перегиба и промежутки выпуклости f(x)=x³-6x²+11x-12

Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости функции необходимо исследовать её вторую производную. 1. Нахождение второй производной Сначала найдем первую производную функции $f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-12$: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^3{)}^{\prime }-(6x^2{)}^{\prime }+(11x{)}^{\prime }-(12{)}^{\prime }=3x^2-12x+11$Теперь найдем вторую производную, продифференцировав $f^{\prime }\left(x\right)$: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=(3x^2{)}^{\prime }-(12x{)}^{\prime }+(11{)}^{\prime }=6x-12$2. Определение критических точек второй производной Точки перегиба могут существовать там, где $f^{\prime \prime }\left(x\right)=0$ или не существует. В данном случае вторая производная определена на всей числовой прямой. Решим уравнение: $6x-12=0$ $6x=12$ $x=2$3. Исследование знаков второй производной Разделим область определения функции на интервалы точкой $x=2$ и определим знак $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ на каждом из них:

4. Координаты точки перегиба Чтобы найти полную координату точки перегиба, подставим $x=2$ в исходную функцию $f\left(x\right)$: $f\left(2\right)=2^3-6\cdot 2^2+11\cdot 2-12$ $f\left(2\right)=8-24+22-12=-6$Точка перегиба: $(2,-6)$. Итоговый результат:

• Промежутки выпуклости вверх: $(-\infty ,2)$, так как $f^{\prime \prime }\left(x\right)<0$. Промежутки выпуклости вниз: $(2,+\infty )$, так как $f^{\prime \prime }\left(x\right)>0$. Точка перегиба: $x=2$ (полные координаты точки: $(2,-6)$).

Я могу также помочь вам найти экстремумы этой функции или построить таблицу для её полного исследования. Хотите, чтобы я рассчитал критические точки первой производной?