Найти значения производной функции при заданных аргументах a) f(x)=x/(1+x^2), x0=0b)f(x)=(4x-7)/(x^2+4), x0=0

Значения производных функций в точке $x_0=0$ составляют: а) $f^{\prime }\left(0\right)=1$, б) $f^{\prime }\left(0\right)=1$. Шаг 1: Вычисление производной функции а) Для нахождения производной функции $f\left(x\right)=\frac{x}{1+x^2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ . Пусть $u=x$ и $v=1+x^2$. Тогда их производные: $u^{\prime }=1$ и $v^{\prime }=2x$. Подставим в формулу: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1\cdot (1+x^2)-x\cdot 2x}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2{)}^2}$ Шаг 2: Нахождение значения в точке для функции а) Подставим заданное значение аргумента $x_0=0$ в полученное выражение производной: $f^{\prime }\left(0\right)=\frac{1-0^2}{(1+0^2{)}^2}=\frac{1}{1}=1$ Шаг 3: Вычисление производной функции б) Для функции $f\left(x\right)=\frac{4x-7}{x^2+4}$ также применим правило частного. Здесь $u=4x-7$ и $v=x^2+4$. Производные числителя и знаменателя: $u^{\prime }=4$ и $v^{\prime }=2x$. Вычисляем $f^{\prime }\left(x\right)$: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{4(x^2+4)-(4x-7)\left(2x\right)}{(x^2+4{)}^2}=\frac{4x^2+16-(8x^2-14x)}{(x^2+4{)}^2}=\frac{-4x^2+14x+16}{(x^2+4{)}^2}$ Шаг 4: Нахождение значения в точке для функции б) Подставим $x_0=0$ в выражение производной: $f^{\prime }\left(0\right)=\frac{-4(0{)}^2+14(0)+16}{(0^2+4{)}^2}=\frac{16}{4^2}=\frac{16}{16}=1$ Ответ: а) $f^{\prime }\left(0\right)=1$; б) $f^{\prime }\left(0\right)=1$. Нужно ли вам разобрать решение аналогичных задач с использованием сложных функций или тригонометрических выражений?