Показать ,что функция f(x)= e в степени 2x + x в кубе - cos x , является первообразной для функции f(x) = 2е в степени 2x+3x в квадрате + sin x на всей числовой прямой

Функция $F\left(x\right)=e^{2x}+x^3-\cos x$ является первообразной для функции $f\left(x\right)=2e^{2x}+3x^2+\sin x$ на всей числовой прямой, так как производная функции $F\left(x\right)$ тождественно равна $f\left(x\right)$. ️ Шаг 1: Определение условия первообразной Согласно определению, функция $F\left(x\right)$ называется первообразной для функции $f\left(x\right)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство: $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$В данном случае промежутком является вся числовая прямая $\mathbb{R}$, на которой обе функции определены и дифференцируемы. ️ Шаг 2: Дифференцирование функции Вычислим производную заданной функции $F\left(x\right)=e^{2x}+x^3-\cos x$, используя правила дифференцирования суммы и сложной функции:

1. Для первого слагаемого $e^{2x}$ применяем правило производной сложной функции: $(e^u{)}^{\prime }=e^u\cdot u^{\prime }$. Получаем: $(e^{2x}{)}^{\prime }=e^{2x}\cdot (2x{)}^{\prime }=2e^{2x}$. Для второго слагаемого $x^3$ используем степенную функцию: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$. Получаем: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$. Для третьего слагаемого $-\cos x$ используем производную тригонометрической функции: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$. Получаем: $(-\cos x{)}^{\prime }=-(-\sin x)=\sin x$.

️ Шаг 3: Сравнение полученного результата Сложим полученные производные всех слагаемых: $F^{\prime }\left(x\right)=2e^{2x}+3x^2+\sin x$Сравнивая полученное выражение с функцией $f\left(x\right)=2e^{2x}+3x^2+\sin x$, видим, что $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ для любого значения $x$. Это доказывает, что $F\left(x\right)$ является первообразной для $f\left(x\right)$. Ответ: Поскольку производная функции $F\left(x\right)=e^{2x}+x^3-\cos x$ на всей области определения совпадает с функцией $f\left(x\right)=2e^{2x}+3x^2+\sin x$, утверждение о том, что $F\left(x\right)$ является первообразной, доказано. Хотите ли вы вычислить определенный интеграл этой функции на конкретном отрезке или найти общее решение для множества всех первообразных?