4 в степени икс плюс 2 степени икс плюс один равно 80

Для решения уравнения $4^x+2^{x+1}=80$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Сначала приведем все степени к одному основанию — числу 2:

• Заметим, что $4^x=(2^2{)}^x=2^{2x}$. Используя свойства степеней, разложим второй член: $2^{x+1}=2^x\cdot 2^1=2\cdot 2^x$.

Теперь уравнение выглядит так: $2^{2x}+2\cdot 2^x=80$2. Замена переменной Пусть $2^x=t$. Важно помнить, что показательная функция всегда положительна, поэтому $t>0$. Подставим $t$ в уравнение: $t^2+2t=80$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $t^2+2t-80=0$3. Решение квадратного уравнения Решим уравнение через дискриминант или по теореме Виета.

• Дискриминант ( $D$):
  $D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot \left(-80\right)=4+320=324$ $\sqrt{D}=\sqrt{324}=18$ Корни ( $t$):
  $t_1=\frac{-2+18}{2}=\frac{16}{2}=8$ $t_2=\frac{-2-18}{2}=\frac{-20}{2}=-10$

4. Обратная замена Вернемся к переменной $x$, учитывая условие $t>0$:

1. Для $t_1=8$:
   $2^x=8$Так как $8=2^3$, то:
   $2^x=2^3⟹x=3$ Для $t_2=-10$:
   $2^x=-10$Показательная функция не может принимать отрицательные значения, поэтому здесь решений нет.

Ответ: $x=3$ Хотите, чтобы я решил другое подобное уравнение или проверил ваше решение?