Решить неравенство 7^√4х-9>=7^√7х+9

Для решения неравенства $7^{\sqrt{4x-9}}\ge 7^{\sqrt{7x+9}}$ воспользуемся свойствами показательной и иррациональной функций. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Поскольку подкоренные выражения должны быть неотрицательными, составим систему неравенств:

1. $4x-9\ge 0⟹4x\ge 9⟹x\ge 2.25$ $7x+9\ge 0⟹7x\ge -9⟹x\ge -1.285\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$

Общим условием для существования обеих частей неравенства является $x\ge 2.25$. 2. Сравнение показателей Так как основание степени ( $7$) больше единицы ( $7>1$), показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется: $\sqrt{4x-9}\ge \sqrt{7x+9}$ 3. Решение иррационального неравенства Обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, поэтому мы можем возвести их в квадрат без потери равносильности: $4x-9\ge 7x+9$Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а свободные числа — в другую: $4x-7x\ge 9+9$ $-3x\ge 18$При делении на отрицательное число ( $-3$) знак неравенства меняется на противоположный: $x\le -6$4. Сопоставление с ОДЗ Теперь необходимо проверить, пересекаются ли полученное решение и область допустимых значений:

• Условие из решения: $x\in (-\infty ;-6]$ Условие ОДЗ: $x\in [2.25;+\infty )$

Данные промежутки не имеют общих точек. Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых исходное неравенство было бы верным. Ответ: Решений нет (пустое множество). Хотите, чтобы я проверил другое аналогичное неравенство или разобрал конкретный этап решения подробнее?