Найти общее решение дифференциального уравнения: y''-2y'+5y=cos(7x)

Для нахождения общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+5y=\cos \left(7x\right)$, необходимо найти сумму общего решения однородного уравнения $y_0$ и частного решения неоднородного уравнения $y^{*}$: $y=y_0+y^{*}$1. Нахождение общего решения однородного уравнения $y_0$ Составим характеристическое уравнение для $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+5y=0$: $k^2-2k+5=0$Найдем дискриминант: $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16$Корни уравнения являются комплексно-сопряженными: $k_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$ Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: $y_0=e^x\left(C_1\cos \right(2x)+C_2\sin (2x\left)\right)$2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения $y^{*}$ Правая часть уравнения имеет вид $f\left(x\right)=\cos \left(7x\right)$. Так как число $7i$ не является корнем характеристического уравнения, частное решение ищем в виде: $y^{*}=A\cos \left(7x\right)+B\sin \left(7x\right)$Найдем первую и вторую производные:

• $(y^{*}{)}^{\prime }=-7A\sin (7x)+7B\cos (7x)$ $(y^{*}{)}^{\prime \prime }=-49A\cos (7x)-49B\sin (7x)$

Подставим $y^{*}$, $(y^{*}{)}^{\prime }$ и $(y^{*}{)}^{\prime \prime }$ в исходное уравнение: $\left(-49A\cos \right(7x)-49B\sin (7x\left)\right)-2\left(-7A\sin \right(7x)+7B\cos (7x\left)\right)+5\left(A\cos \right(7x)+B\sin (7x\left)\right)=\cos \left(7x\right)$Сгруппируем слагаемые при $\cos \left(7x\right)$ и $\sin \left(7x\right)$: $(-49A-14B+5A)\cos \left(7x\right)+(-49B+14A+5B)\sin \left(7x\right)=\cos \left(7x\right)$ $(-44A-14B)\cos \left(7x\right)+(14A-44B)\sin \left(7x\right)=\cos \left(7x\right)$Составим систему уравнений:

1. $-44A-14B=1$ $14A-44B=0⟹14A=44B⟹A=\frac{22}{7}B$

Подставим значение $A$ в первое уравнение: $-44\left(\frac{22}{7}B\right)-14B=1$ $-\frac{968}{7}B-\frac{98}{7}B=1$ $-\frac{1066}{7}B=1⟹B=-\frac{7}{1066}$ Найдем $A$: $A=\frac{22}{7}\cdot (-\frac{7}{1066})=-\frac{22}{1066}=-\frac{11}{533}$ Частное решение: $y^{*}=-\frac{11}{533}\cos \left(7x\right)-\frac{7}{1066}\sin \left(7x\right)$ 3. Общее решение Складываем $y_0$ и $y^{*}$: $y=e^x\left(C_1\cos \right(2x)+C_2\sin (2x\left)\right)-\frac{11}{533}\cos \left(7x\right)-\frac{7}{1066}\sin \left(7x\right)$ Я могу составить аналогичное решение для задачи с заданными начальными условиями (задача Коши), если это необходимо.