Построить график y=х(в 3 степени) - 3х построить график y= 3x - x(в 3 степени)

Для построения графиков функций $y=x^3-3x$ и $y=3x-x^3$ необходимо провести исследование их свойств, включая поиск нулей, экстремумов и точек перегиба. ️ Шаг 1: Исследование функции $y=x^3-3x$

1. Область определения: $D\left(y\right)=\mathbb{R}$. Четность: $f(-x)=(-x{)}^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Нули функции: $x^3-3x=0x(x^2-3)=0$. Точки пересечения с осью $OX$: $x_1=0$, $x_2=\sqrt{3}\approx 1.73$ , $x_3=-\sqrt{3}\approx -1.73$ . Производная и экстремумы: $y^{\prime }=3x^2-3$. Установим $y^{\prime }=0$: $3(x^2-1)=0x=\pm 1$.
   • При $x=-1$: $y=(-1{)}^3-3(-1)=2$. Точка $(-1;2)$ — максимум. При $x=1$: $y=1^3-3\left(1\right)=-2$. Точка $(1;-2)$ — минимум.
   Вторая производная и перегиб: $y^{\prime \prime }=6x$. $y^{\prime \prime }=0$ при $x=0$. Точка $(0;0)$ — точка перегиба.

️ Шаг 2: Исследование функции $y=3x-x^3$ Эта функция является противоположной первой: $y_2=-y_1$. График получается зеркальным отражением первого графика относительно оси $OX$.

1. Нули функции: совпадают с первой функцией: $x=0,\pm \sqrt{3}$ . Экстремумы:
   • $y^{\prime }=3-3x^2=0x=\pm 1$. При $x=-1$: $y=3\left(-1\right)-(-1{)}^3=-2$. Точка $(-1;-2)$ — минимум. При $x=1$: $y=3\left(1\right)-1^3=2$. Точка $(1;2)$ — максимум.
   Поведение: Если в первой функции при $x\infty$ $y\infty$, то здесь при $x\infty$ $y-\infty$.

️ Шаг 3: Построение графиков Для точного построения используем найденные ключевые точки:

• График $y=x^3-3x$ (синусоидального вида кривая): проходит через $(-1.73;0)$, поднимается к максимуму $(-1;2)$, проходит через $(0;0)$, опускается к минимуму $(1;-2)$ и уходит вверх через $(1.73;0)$. График $y=3x-x^3$: проходит через $(-1.73;0)$, опускается к минимуму $(-1;-2)$, проходит через $(0;0)$, поднимается к максимуму $(1;2)$ и уходит вниз через $(1.73;0)$.

Ответ: Графики функций представляют собой кубические параболы, симметричные относительно начала координат и зеркальные друг другу относительно оси абсцисс. Ключевые точки для $y=x^3-3x$: $(-\sqrt{3};0)$ , $(-1;2)$, $(0;0)$, $(1;-2)$, $(\sqrt{3};0)$ . Ключевые точки для $y=3x-x^3$: $(-\sqrt{3};0)$ , $(-1;-2)$, $(0;0)$, $(1;2)$, $(\sqrt{3};0)$ . Нужно ли вам подготовить таблицу значений для более точного переноса этих графиков в тетрадь?