Чему равна производная sinx?

Производная функции $f\left(x\right)=\sin x$ равна $\cos x$. Математическое определение Согласно правилам дифференцирования тригонометрических функций: $\frac{d}{dx}\left(\sin x\right)=\cos x$ Доказательство через определение производной Чтобы вывести это значение, используется определение производной через предел: $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$ 1. Применение тригонометрической формулы Используя формулу синуса суммы $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$, разложим числитель: $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h0}{\lim }\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}$ 2. Группировка слагаемых Сгруппируем члены с $\sin x$: $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h0}{\lim }[\sin x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)+\cos x\left(\frac{\sin h}{h}\right)]$ 3. Нахождение пределов При $h0$ применяются два замечательных предела:

• Первый замечательный предел: $\underset{h0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1$ Предел для косинуса: $\underset{h0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}=0$

4. Итоговый результат Подставляя значения пределов в уравнение, получаем: $f^{\prime }\left(x\right)=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x$Важные примечания

• Сложная функция: Если аргумент синуса является функцией, например $\sin \left(u\right(x\left)\right)$, то производная берется по правилу дифференцирования сложной функции: $(\sin u{)}^{\prime }=\cos u\cdot u^{\prime }$. Геометрический смысл: Значение $\cos x$ в любой точке $x$ равно тангенсу угла наклона касательной к графику синусоиды в этой точке.

Я могу составить для вас таблицу производных других тригонометрических функций или разобрать пример дифференцирования сложного выражения с синусом. Понадобится ли это?