Производная корень из (x) / x

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{x}$ можно воспользоваться двумя способами: упрощением выражения перед дифференцированием или правилом дифференцирования частного. Способ 1: Предварительное упрощение (рекомендуемый) Самый простой путь — преобразовать дробь в степенную функцию. Вспомним свойства степеней: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ и $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$ .

1. Упрощаем выражение:
   $f\left(x\right)=\frac{x^{1/2}}{x^1}=x^{1/2-1}=x^{-1/2}$ Применяем формулу производной степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$:
   $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cdot x^{-1/2-1}=-\frac{1}{2}{x}^{-3/2}$ Возвращаемся к стандартному виду:
   $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{2x^{3/2}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Способ 2: Правило частного Если использовать формулу ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ , где $u=\sqrt{x}$ и $v=x$:

1. Находим производные числителя и знаменателя:
   • $u^{\prime }=(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $v^{\prime }=(x{)}^{\prime }=1$
2. Подставляем в формулу:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x-\sqrt{x}\cdot 1}{x^2}$ Упрощаем числитель:
   Поскольку $\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$ , получаем:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x}-\sqrt{x}}{x^2}=\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{x^2}$ Сокращаем дробь:
   $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}=-\frac{1}{2x^{2-1/2}}=-\frac{1}{2x^{3/2}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\text{или}-\frac{1}{2}{x}^{-3/2}$ Я могу также рассчитать значение этой производной в конкретной точке или найти вторую производную для исследования функции на выпуклость. Хотите продолжить?