Прямая y 3x+4 является касательной к графику функции f(x)=x3+4x2+3x+4 найдите ординату точки касания

Ордината точки касания равна 4. Шаг 1: Нахождение производной функции Для того чтобы прямая $y=kx+b$ была касательной к графику функции $f\left(x\right)$ в некоторой точке $x_0$, значение производной функции в этой точке должно быть равно угловому коэффициенту прямой $k$. Найдем производную заданной функции $f\left(x\right)=x^3+4x^2+3x+4$: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+8x+3$Шаг 2: Нахождение абсциссы точки касания Угловой коэффициент прямой $y=3x+4$ равен $k=3$. Приравняем производную к этому значению: $3x^2+8x+3=3$ $3x^2+8x=0$ $x(3x+8)=0$ Отсюда получаем два возможных значения абсциссы:

1. $x_1=0$ $x_2=-\frac{8}{3}$

Шаг 3: Проверка условия касания и вычисление ординаты Точка касания должна принадлежать и графику функции, и самой прямой. Проверим обе точки:

1. Если $x_0=0$:
   Значение функции: $f\left(0\right)=0^3+4\cdot 0^2+3\cdot 0+4=4$.
   Значение из уравнения прямой: $y=3\cdot 0+4=4$.
   Значения совпадают, значит, $x_0=0$ — абсцисса точки касания. Ордината $y_0=4$. Если $x_0=-\frac{8}{3}$ :
   Значение из уравнения прямой: $y=3\cdot (-\frac{8}{3})+4=-8+4=-4$ .
   Значение функции $f(-\frac{8}{3})=(-\frac{8}{3}{)}^3+4(-\frac{8}{3}{)}^2+3(-\frac{8}{3})+4=-\frac{512}{27}+\frac{256}{9}-8+4=\frac{-512+768-108}{27}=\frac{148}{27}$ .
   Так как $\frac{148}{27}\ne -4$ , данная точка не является точкой касания (графики не пересекаются в этой точке, хотя их наклоны одинаковы).

Ответ: 4 Нужно ли вам решение аналогичной задачи с другими параметрами функции?