Решить неравенство log2x+log2(x-2)<3

Для решения неравенства ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)<3$ необходимо выполнить последовательные шаги: определить область допустимых значений (ОДЗ), преобразовать логарифмическое выражение и решить полученное алгебраическое неравенство. 1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $x>0$ $x-2>0x>2$

Общим условием для системы является интервал: $x\in (2;+\infty )$. 2. Преобразование неравенства Используем свойство суммы логарифмов ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a\left(bc\right)$: ${\log }_2\left(x\right(x-2\left)\right)<3$Представим число $3$ в виде логарифма по основанию $2$ ( $3={\log }_2{2}^3={\log }_{2}8$): ${\log }_2(x^2-2x)<{\log }_{2}8$3. Переход к квадратному неравенству Так как основание логарифма $2>1$, логарифмическая функция возрастает. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $x^2-2x<8$ $x^2-2x-8<0$4. Решение квадратного неравенства Найдем корни уравнения $x^2-2x-8=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $2$ Произведение корней: $-8$ Корни: $x_1=4$, $x_2=-2$

Парабола $y=x^2-2x-8$ направлена ветвями вверх, следовательно, выражение меньше нуля на интервале между корнями: $x\in (-2;4)$ 5. Учет ОДЗ и итоговый ответ Необходимо найти пересечение полученного решения и ОДЗ:

1. Решение неравенства: $x\in (-2;4)$ ОДЗ: $x\in (2;+\infty )$

Пересечение этих множеств: $2<x<4$. Ответ: $(2;4)$ Хотите, чтобы я разобрал решение другого аналогичного неравенства или пояснил какой-то из этапов подробнее?