Log5(cosx-sin2x+25)=2

Для решения уравнения ${\log }_5(\cos x-\sin 2x+25)=2$ воспользуемся определением логарифма и тригонометрическими формулами. 1. Переход к алгебраическому уравнению По определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$): $\cos x-\sin 2x+25=5^2$ $\cos x-\sin 2x+25=25$Вычтем 25 из обеих частей уравнения: $\cos x-\sin 2x=0$2. Применение тригонометрических формул Используем формулу двойного аргумента для синуса: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\cos x-2\sin x\cos x=0$Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $\cos x(1-2\sin x)=0$3. Решение совокупности уравнений Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\cos x=0$
   $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ $1-2\sin x=0$
   $2\sin x=1$ $\sin x=\frac{1}{2}$ Это дает две серии решений:
   $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi m,\text{где}m\in \mathbb{Z}$

4. Проверка области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $\cos x-\sin 2x+25>0$. Так как функции $\cos x$ и $\sin 2x$ принимают значения в диапазоне $[-1,1]$, их разность ограничена: $-2\le \cos x-\sin 2x\le 2$Следовательно, минимальное значение выражения $\cos x-\sin 2x+25$ равно $23$, что всегда больше нуля. Все найденные корни входят в ОДЗ. Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=\frac{\pi }{6}+2\pi k;x=\frac{5\pi }{6}+2\pi m;n,k,m\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь отобрать корни этого уравнения на заданном числовом промежутке, если это необходимо.