Решить систему уравнений x-y=2 1/x-1/y=-2/3

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки и алгебраическими преобразованиями. Исходная система уравнений:

1. $x-y=2$ $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=-\frac{2}{3}$

Шаг 1: Преобразование второго уравнения Приведем дроби в левой части второго уравнения к общему знаменателю: $\frac{y-x}{xy}=-\frac{2}{3}$ Заметим, что из первого уравнения $x-y=2$. Следовательно, выражение $(y-x)$ равно $-(x-y)$, то есть -2. Подставим это значение: $\frac{-2}{xy}=-\frac{2}{3}$ Разделим обе части уравнения на -2: $\frac{1}{xy}=\frac{1}{3}$ Отсюда следует: $xy=3$ Шаг 2: Формирование новой системы Теперь задача сводится к решению более простой системы:

1. $x-y=2$ $xy=3$

Из первого уравнения выразим $x$: $x=y+2$ Подставим это выражение во второе уравнение: $(y+2)\cdot y=3$ $y^2+2y-3=0$Шаг 3: Решение квадратного уравнения Решим уравнение $y^2+2y-3=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $y_1+y_2=-2$ Произведение корней: $y_1\cdot y_2=-3$

Корни уравнения:

1. $y_1=1$
2. $y_2=-3$

Шаг 4: Поиск соответствующих значений x Используем формулу $x=y+2$:

1. Если $y_1=1$, то $x_1=1+2=3$. Если $y_2=-3$, то $x_2=-3+2=-1$.

Проверка

• Пара (3; 1): $3-1=2$ (верно); $\frac{1}{3}-\frac{1}{1}=\frac{1-3}{3}=-\frac{2}{3}$ (верно). Пара (-1; -3): $-1-\left(-3\right)=2$ (верно); $\frac{1}{-1}-\frac{1}{-3}=-1+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$ (верно).

Ответ: Система имеет два решения: $(3;1)$ и $(-1;-3)$. Я могу помочь с решением других систем уравнений или разобрать графический метод решения этой задачи. Хотите, чтобы я построил графики этих функций?