Решить уравнение: 2sinx*cosx=cos2x-2sin^2x

Для решения уравнения $2\sin x\cos x=\cos 2x-2{\sin }^{2}x$ воспользуемся тригонометрическими формулами двойного угла. 1. Упрощение выражения Вспомним основные формулы:

• Синус двойного угла: $2\sin x\cos x=\sin 2x$ Косинус двойного угла (одна из форм): $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$

Подставим эти значения в исходное уравнение: $\sin 2x=(1-2{\sin }^{2}x)-2{\sin }^{2}x$ $\sin 2x=1-4{\sin }^{2}x$2. Преобразование к одной функции Однако проще заметить, что правая часть уравнения содержит выражение для $\cos 2x$. Перепишем исходное уравнение, перегруппировав слагаемые: $2\sin x\cos x=\cos 2x-2{\sin }^{2}x$Заменим левую часть на $\sin 2x$: $\sin 2x=\cos 2x-2{\sin }^{2}x$Используем формулу косинуса двойного угла в виде $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$: $\sin 2x=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)-2{\sin }^{2}x$ $\sin 2x={\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x$Раскроем $\sin 2x$ обратно для удобства работы с однородным уравнением: $2\sin x\cos x={\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x$Перенесем все члены в одну сторону: $3{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=0$3. Решение однородного уравнения Полученное уравнение является однородным уравнением второй степени. Разделим обе части на ${\cos }^{2}x$ (при условии, что $\cos x\ne 0$): $3\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+2\frac{\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ $3{\tan }^{2}x+2\tan x-1=0$Введем замену: $t=\tan x$. Получаем квадратное уравнение: $3t^2+2t-1=0$Найдем дискриминант: $D=2^2-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=4+12=16$ $\sqrt{D}=4$ Корни уравнения:

1. $t_1=\frac{-2+4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ $t_2=\frac{-2-4}{6}=\frac{-6}{6}=-1$

4. Обратная замена и ответ Теперь найдем $x$ для каждого случая:

1. $\tan x=\frac{1}{3}$
   $x=\arctan \left(\frac{1}{3}\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $\tan x=-1$
   $x=\arctan \left(-1\right)+\pi n$ $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\arctan \left(\frac{1}{3}\right)+\pi k$ ; $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$ , где $k,n\in \mathbb{Z}$. Хотите, чтобы я проверил корни на определенном числовом промежутке?