Решите уравнение: 3sin2x+cos2x+1=0

Для решения уравнения $3\sin 2x+\cos 2x+1=0$ воспользуемся формулами двойного аргумента и основным тригонометрическим тождеством, чтобы привести всё уравнение к функциям одного аргумента $x$. 1. Преобразование уравнения Используем следующие тригонометрические формулы:

• $\sin 2x=2\sin x\cos x$ $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $3\left(2\sin x\cos x\right)+({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)+({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=0$ 2. Упрощение выражения Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $6\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=0$ Заметим, что $-{\sin }^{2}x$ и ${\sin }^{2}x$ взаимно уничтожаются: $6\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=0$ 3. Решение разложением на множители Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки: $2\cos x(3\sin x+\cos x)=0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая: Случай А: $\cos x=0$ Это частный случай тригонометрического уравнения. $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай Б: $3\sin x+\cos x=0$ Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x\ne 0$, так как если $\cos x=0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin x=0$, что невозможно одновременно): $\frac{3\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}=0$ $3\tan x+1=0$ $3\tan x=-1$ $\tan x=-\frac{1}{3}$ Отсюда находим $x$: $x=\arctan (-\frac{1}{3})+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Используя свойство арктангенса $\arctan (-a)=-\arctan a$: $x=-\arctan \left(\frac{1}{3}\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=-\arctan \left(\frac{1}{3}\right)+\pi k;n,k\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам с отбором корней на заданном промежутке или решить аналогичное уравнение другим методом. Хотите продолжить?