Решить уравнение, сделав подстановку. а) 2 sin^2x – 5 sin x - 3 = 0

Для решения уравнения $2{\sin }^{2}x-5\sin x-3=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение подстановки Пусть $\sin x=t$. Так как значения синуса ограничены, накладываем условие: $\left|t\right|\le 1$ (или $t\in [-1;1]$). 2. Решение квадратного уравнения Подставим $t$ в исходное уравнение: $2t^2-5t-3=0$Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot (-3)=25+24=49$ $\sqrt{D}=7$ Находим корни уравнения: $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{5+7}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{5-7}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-0,5$ 3. Обратная подстановка Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

• $t_1=3$: не подходит, так как $3>1$. Уравнение $\sin x=3$ не имеет решений. $t_2=-0,5$: подходит, так как $|-0,5|\le 1$.

Решим уравнение $\sin x=-0,5$: $x=(-1{)}^k\cdot \arcsin (-0,5)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=(-1{)}^k\cdot (-\frac{\pi }{6})+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Эту запись можно представить в виде двух серий решений:

1. $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ (или $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ )

Ответ: $x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ . Хотите, чтобы я помог отобрать корни этого уравнения на определенном числовом промежутке?