Log в квадрате по основанию 1/2 числа х минус log по основанию 1/2 числа х равно 6

Решением уравнения ${\log }_{1/2}^{2}x-{\log }_{1/2}x=6$ являются значения $x=0,125$ и $x=4$. Шаг 1: Определение области допустимых значений и замена переменной Для данного уравнения область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x>0$. Для упрощения решения введем новую переменную. Пусть ${\log }_{1/2}x=t$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2-t=6$Перенесем все члены в левую часть: $t^2-t-6=0$Шаг 2: Решение квадратного уравнения Решим полученное уравнение через дискриминант $D$ или по теореме Виета. Найдем дискриминант: $D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25$Находим корни $t$: $t_1=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=\frac{6}{2}=3$ $t_2=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=\frac{-4}{2}=-2$ Шаг 3: Обратная подстановка и нахождение x Теперь вернемся к замене ${\log }_{1/2}x=t$ для каждого найденного значения:

1. Если $t=3$, то ${\log }_{1/2}x=3$. По определению логарифма:
   $x=(1/2{)}^3=1/8=0,125$ Если $t=-2$, то ${\log }_{1/2}x=-2$. По определению логарифма:
   $x=(1/2{)}^{-2}=2^2=4$

Оба полученных значения удовлетворяют условию $x>0$. Ответ: $x_1=0,125$; $x_2=4$ Хотите разобрать решение системы логарифмических уравнений или рассмотреть свойства логарифмов более подробно?