Решить уравнение tgx+tg(p/4+x)=-2

Для решения уравнения $\tan x+\tan (\frac{\pi }{4}+x)=-2$ воспользуемся формулой тангенса суммы углов: $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$ 1. Преобразование уравнения Зная, что $\tan \frac{\pi }{4}=1$ , раскроем второе слагаемое: $\tan x+\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=-2$ Введем замену переменной: пусть $t=\tan x$. Уравнение принимает вид: $t+\frac{1+t}{1-t}=-2$ 2. Решение алгебраического уравнения Приведем уравнение к общему знаменателю $(1-t)$, учитывая ограничение $t\ne 1$ (так как $\tan x$ не определен в точках, где $\cos x=0$, и знаменатель дроби не может быть равен нулю): $\frac{t(1-t)+1+t}{1-t}=-2$ $t-t^2+1+t=-2(1-t)$ $-t^2+2t+1=-2+2t$Перенесем все члены в одну часть: $-t^2+2t+1+2-2t=0$ $-t^2+3=0$ $t^2=3$Отсюда получаем два корня:

1. $t_1=\sqrt{3}$ $t_2=-\sqrt{3}$

3. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$: Случай 1: $\tan x=\sqrt{3}$ $x=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\tan x=-\sqrt{3}$ $x=-\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 4. Проверка области допустимых значений (ОДЗ) Исходное уравнение содержит $\tan x$ и $\tan (\frac{\pi }{4}+x)$ .

• Для $\tan x$: $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi k$ . Наши корни $\pm \frac{\pi }{3}$ этому условию удовлетворяют. Для $\tan (\frac{\pi }{4}+x)$ : $\frac{\pi }{4}+x\ne \frac{\pi }{2}+\pi kx\ne \frac{\pi }{4}+\pi k$ . Наши корни также не совпадают с этими значениями.

Объединяя оба случая в одну запись, получаем: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Могу ли я помочь с разбором других тригонометрических уравнений или систем?