Решить уравнения: 1) 2sqrt(x-1)+sqrt(x+3)=2 2) sqrt(3x^2-5x+7)+sqrt(3x^2-7x+2)=3

Ответы к уравнениям: 1) x = 1; 2) x_1 = 2, x_2 = 7/26. Шаг 1: Решение первого уравнения методом монотонности Рассмотрим уравнение $2\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}=2$ .

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ):
   Для существования квадратных корней подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
   $x-1\ge 0x\ge 1$
   $x+3\ge 0x\ge -3$
   Общая ОДЗ: $x\ge 1$. Анализ функции:
   Пусть $f\left(x\right)=2\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}$ . Функции $\sqrt{x-1}$ и $\sqrt{x+3}$ являются монотонно возрастающими на своей области определения. Следовательно, их сумма $f\left(x\right)$ также является строго возрастающей функцией на промежутке $[1;+\infty )$. Поиск корня:
   Заметим, что при $x=1$:
   $f\left(1\right)=2\sqrt{1-1}+\sqrt{1+3}=2\cdot 0+\sqrt{4}=2$ .
   Так как функция строго возрастает, значение $2$ достигается только в одной точке.

Шаг 2: Нахождение ОДЗ и изоляция радикала во втором уравнении Рассмотрим уравнение $\sqrt{3x^2-5x+7}+\sqrt{3x^2-7x+2}=3$ .

1. Определение ОДЗ:
   Первое выражение $3x^2-5x+7$ всегда положительно ( $D=25-84<0$, ветви вверх).
   Для второго: $3x^2-7x+2\ge 0$. Корни уравнения $3x^2-7x+2=0$ равны $x_1=2,x_2=1/3$.
   Следовательно, $x\in (-\infty ;1/3]\cup [2;+\infty )$. Преобразование:
   Перенесем один корень в правую часть:
   $\sqrt{3x^2-5x+7}=3-\sqrt{3x^2-7x+2}$

Шаг 3: Возведение в квадрат и упрощение Возведем обе части уравнения в квадрат: $3x^2-5x+7=9+(3x^2-7x+2)-6\sqrt{3x^2-7x+2}$ $3x^2-5x+7=3x^2-7x+11-6\sqrt{3x^2-7x+2}$ Упростим выражение, перенеся слагаемые без корня влево: $2x-4=-6\sqrt{3x^2-7x+2}$ Разделим на $2$: $x-2=-3\sqrt{3x^2-7x+2}$ Шаг 4: Повторное возведение в квадрат Условие возведения в квадрат: так как правая часть $-3\sqrt{\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}}\le 0$ , то и левая часть должна быть $x-2\le 0$, то есть $x\le 2$. С учетом ОДЗ из Шага 2, возможные решения лежат в интервале $(-\infty ;1/3]\cup \left\{2\right\}$. Возводим в квадрат: $(x-2{)}^2=9(3x^2-7x+2)$ $x^2-4x+4=27x^2-63x+18$ $26x^2-59x+14=0$ Найдем дискриминант: $D=(-59{)}^2-4\cdot 26\cdot 14=3481-1456=2025={45}^2$ Находим корни: $x_1=\frac{59+45}{52}=\frac{104}{52}=2$ $x_2=\frac{59-45}{52}=\frac{14}{52}=\frac{7}{26}$ Оба значения удовлетворяют условию $x\le 2$ и входят в ОДЗ. Ответ:

1. x = 1
2. x_1 = 2, x_2 = 7/26

Нужно ли вам проверить полученные корни подстановкой в исходные уравнения или разобрать другие методы решения иррациональных уравнений?