Докажите что функция f(x)= x^3+2x является нечетной

Для того чтобы доказать, что функция является нечетной, необходимо проверить выполнение определяющего условия для всех значений $x$ из области определения функции. Определение нечетной функции Функция $f\left(x\right)$ называется нечетной, если выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат (точки $0$). Для любого $x$ из области определения верно равенство:
   $f(-x)=-f\left(x\right)$

Пошаговое доказательство 1. Проверка области определения Функция $f\left(x\right)=x^3+2x$ является многочленом. Она определена для всех действительных чисел: $D\left(f\right)=(-\infty ;+\infty )$Данное множество симметрично относительно нуля, так как для любого числа $x$ число $-x$ также принадлежит этому множеству. 2. Проверка основного условия Найдем значение функции от аргумента $-x$, подставив $(-x)$ вместо каждого $x$ в исходную формулу: $f(-x)=(-x{)}^3+2(-x)$Применим свойства степеней (отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным):

• $(-x{)}^3=-x^3$ $2(-x)=-2x$

Получаем: $f(-x)=-x^3-2x$3. Сопоставление результатов Теперь вынесем общий множитель $-1$ за скобки: $f(-x)=-(x^3+2x)$Заметим, что выражение в скобках $(x^3+2x)$ в точности совпадает с исходной функцией $f\left(x\right)$. Следовательно: $f(-x)=-f\left(x\right)$Вывод Так как условие $f(-x)=-f\left(x\right)$ выполняется на всей области определения, функция $f\left(x\right)=x^3+2x$ является нечетной. График такой функции будет симметричен относительно начала координат. Я могу также помочь с нахождением производной этой функции или исследованием её на экстремумы, если это необходимо.