Решите иррациональное уравнение √х+13-√х+1=2

Для решения уравнения $\sqrt{x+13}-\sqrt{x+1}=2$ воспользуемся методом возведения обеих частей в квадрат. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными:

• $x+13\ge 0x\ge -13$ $x+1\ge 0x\ge -1$

Следовательно, общее условие: $x\ge -1$. 2. Преобразование уравнения Для удобства перенесем один из радикалов в правую часть: $\sqrt{x+13}=2+\sqrt{x+1}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x+13}{)}^2=(2+\sqrt{x+1}{)}^2$ Применим формулу квадрата суммы $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$: $x+13=4+4\sqrt{x+1}+(x+1)$ 3. Изоляция радикала Упростим полученное выражение: $x+13=x+5+4\sqrt{x+1}$ Вычтем $x$ из обеих частей и перенесем константы влево: $13-5=4\sqrt{x+1}$ $8=4\sqrt{x+1}$ Разделим обе части на 4: $2=\sqrt{x+1}$ 4. Нахождение корня Снова возведем в квадрат: $2^2=(\sqrt{x+1}{)}^2$ $4=x+1$ $x=3$5. Проверка

• Соответствие ОДЗ: $3\ge -1$ (верно). Подстановка в исходное уравнение:
  $\sqrt{3+13}-\sqrt{3+1}=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$ Равенство $2=2$ верно.

Ответ: $x=3$ Я могу также помочь с решением других систем уравнений или логарифмических задач, если это потребуется.