Найти точку минимума функции y=(x^2-7x+7)*e^4-x

Точкой минимума функции $y=(x^2-7x+7)e^{4-x}$ является $x=5$. Для нахождения точки минимума выполним следующие шаги: 1. Вычисление производной функции Данная функция представляет собой произведение двух выражений: $u\left(x\right)=x^2-7x+7$ и $v\left(x\right)=e^{4-x}$. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

1. Производная первой части: $u^{\prime }=(x^2-7x+7{)}^{\prime }=2x-7$. Производная второй части (по правилу производной сложной функции): $v^{\prime }=(e^{4-x}{)}^{\prime }=e^{4-x}\cdot (4-x{)}^{\prime }=-e^{4-x}$.

Подставим в формулу: $y^{\prime }=(2x-7)e^{4-x}+(x^2-7x+7)(-e^{4-x})$2. Упрощение выражения Вынесем общий множитель $e^{4-x}$ за скобки: $y^{\prime }=e^{4-x}(2x-7-(x^2-7x+7\left)\right)$ $y^{\prime }=e^{4-x}(2x-7-x^2+7x-7)$ $y^{\prime }=e^{4-x}(-x^2+9x-14)$3. Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю. Так как $e^{4-x}$ всегда больше нуля при любом $x$, приравниваем к нулю только выражение в скобках: $-x^2+9x-14=0$Умножим на $-1$ для удобства решения: $x^2-9x+14=0$По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $D=(-9{)}^2-4\cdot 1\cdot 14=81-56=25$ $x_1=\frac{9-5}{2}=2,x_2=\frac{9+5}{2}=7$ 4. Определение характера точек Исследуем знак производной $y^{\prime }=e^{4-x}(-x^2+9x-14)$ на интервалах:

• На интервале $(-\infty ;2)$: возьмем $x=0$, тогда $y^{\prime }=e^4\left(-14\right)<0$ (функция убывает). На интервале $(2;7)$: возьмем $x=5$, тогда $y^{\prime }=e^{-1}(-25+45-14)=e^{-1}\left(6\right)>0$ (функция возрастает). На интервале $(7;+\infty )$: возьмем $x=8$, тогда $y^{\prime }=e^{-4}(-64+72-14)=e^{-4}\left(-6\right)<0$ (функция убывает).

Точка минимума — это точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс. Это происходит в точке $x=2$. Однако, перепроверим условие и вычисления. Производная: $y^{\prime }=e^{4-x}(-x^2+9x-14)$. При $x=2$ производная меняет знак с $-$ на $+$. Следовательно, $x=2$ — точка минимума. При $x=7$ производная меняет знак с $+$ на $-$. Следовательно, $x=7$ — точка максимума. Ответ Точкой минимума функции является $x=2$. Требуется ли вам найти минимальное значение функции в этой точке или исследовать её поведение на конкретном отрезке?