Решите неравенство 2^2x+1 - 5 * 2^x + 2 >= 0

Для решения данного показательного неравенства воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Сначала упростим первый член выражения, используя свойства степеней ( $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$): $2^{2x+1}=2^{2x}\cdot 2^1=2\cdot (2^x{)}^2$Теперь перепишем исходное неравенство: $2\cdot (2^x{)}^2-5\cdot 2^x+2\ge 0$2. Замена переменной Пусть $2^x=t$. Важно помнить, что показательная функция всегда положительна, поэтому $t>0$. Получаем квадратное неравенство: $2t^2-5t+2\ge 0$3. Решение квадратного неравенства Найдем корни квадратного трехчлена $2t^2-5t+2=0$ через дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$ $t_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 3}{4}$

• $t_1=\frac{5+3}{4}=2$ $t_2=\frac{5-3}{4}=0,5$

Разложим левую часть на множители: $2(t-0,5)(t-2)\ge 0$Решением этого неравенства относительно $t$ (с учетом условия $t>0$) являются промежутки: $t\le 0,5\text{или}t\ge 2$4. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$:

1. Первый случай:
   $2^x\le 0,5$ $2^x\le 2^{-1}$Так как основание $2>1$, знак неравенства сохраняется:
   $x\le -1$ Второй случай:
   $2^x\ge 2$ $2^x\ge 2^1$ $x\ge 1$

Ответ: $x\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$Хотите, чтобы я разобрал аналогичное неравенство с другим основанием или логарифмами?