Решите тригонометрическое уравнение: tg^2x+5 tgx+6=0

Для решения уравнения ${\tan }^{2}x+5\tan x+6=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение новой переменной Пусть $\tan x=t$. Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2+5t+6=0$2. Решение квадратного уравнения Решим полученное уравнение через дискриминант $D$ или по теореме Виета.

• Находим дискриминант:
  $D=b^2-4ac=5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$ Находим корни:
  $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5+1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$
  $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5-1}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

3. Обратная подстановка Теперь вернемся к переменной $x$, подставив найденные значения $t$ в уравнение $\tan x=t$. Случай 1: $\tan x=-2$ $x=\arctan \left(-2\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Так как арктангенс — функция нечетная, можно записать: $x=-\arctan \left(2\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\tan x=-3$ $x=\arctan \left(-3\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Аналогично: $x=-\arctan \left(3\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=-\arctan \left(2\right)+\pi n;$ $x=-\arctan \left(3\right)+\pi k,$ где $n,k\in \mathbb{Z}$. Могу ли я помочь вам с решением других тригонометрических уравнений или систем?